|
Top-level
 Занятия кружка начались когда Диме, сыну Александра, было 3 года и 10 месяцев. Моей дочери Ульяне сейчас 4 года и 3 месяца. Самое время начать.🙂 Книга «Малыши и математика» — это дневник математического кружка. В ней запечатлены как сами задачки, так и краткая реакция учеников на них. Мне интересно записать наше с Ульяной прохождение этой книги, что я и попытаюсь сделать. 42 comments
В течение занятия Александр обычно брал несколько задач, а затем решал их с ребятами. Мы в своём путешествии не так скоры, и пока брали лишь по одной задаче за раз. Она занимает у нас около 30-45 минут. В каждой задаче прослеживается какая-то логика, которую автор предлагал ребятам. В некоторых случаях я не совсем её понимал и предлагал Ульяне свою логику. Ключевым моментом здесь всё же является способность сообразить и предоставить непротиворечивый способ, а не следовать одному пути. Задание 21. Лист Мёбиуса. В книге нет заданий до 21-го, они не сохранились, всё начинается с 21-го. В описании автора он и ребята сразу принялись склеивать листы (ленты) Мёбиуса из полосок, а затем начали их изучать и преобразовывать (например, разрезать). Ещё сразу было сказано, что у ленты Мёбиуса только одна сторона. Малыши не впечатлились, и уже для меня это послужило сигналом, что задание надо переделать. Я отступил назад и решил, что нужно сначала договориться, что же такое «сторона». Мы взяли маленький кусок бумаги и раскрасили его с одной стороны простым карандашом, а с другой — голубым. Всё, что красилось без каких-либо переворачиваний у нас было одной стороной. Так мы и выяснили, что стороны у листочка две. Хочу сразу заметить, что это всё же абстракция, и сторон у листа, конечно, не две. У листа есть толщина, и это не двухмерная фигура, а тонкий параллелепипед. То есть сторон как минимум шесть. А если учитывать неровности самой бумаги, разрезов и прочее, то... Учитывая мои соображения на тему параллелепипеда, Ульяна права. Но мы тут мыслим в двумерном пространстве, так что с ребёнком я условился на том, что, дойдя до края листика, муравьи падают в обрыв (мда, опять абстракция потекла). Понятно, что до ленты Мёбиуса сложно додуматься в четырёхлетнем возрасте, поэтому дальше была скорее демонстрация, чем размышление. Мы взяли отрезок бумаги подлиннее, снова нарисовали там домики муравьишек. Затем я попросил Ульяну вести дорожку от одного домика, а... ...сам крутил ленту под карандашом. Когда ребёнок довёл карандаш от дома серых к дому голубых, то очень обрадовался. Но устал, конечно. Дальнейшие мои попытки с помощью раскрашивания показать, что у ленты только одна сторона, были решительно отвергнуты.🙂 Продолжаю свой дневник. В прошлый раз я писал, что нумерация в книге идёт с 21-го задания, но в этом я ошибся. Не с задания, а с занятия. Сегодня я расскажу о нашем опыте выполнения второго задания из того же занятия. Суть второго задания состоит в необходимости составить определённую сумму разными сочетаниями монет. Я обернул это в игру в кинотеатр, куда мы продавали билеты животным. Сначала я попросил Ульяну помочь мне вырезать монеты различного номинала. Практически все покупки мы совершаем с помощью карточек, и монеты редко обнаруживаются у нас с Лизой в кошельках. Так что мы сначала поскребли по сусекам, нашли монеты номиналами в 1 рубль и 5 рублей. Монету в 2 рубля пришлось рисовать самостоятельно. Её облик получился чище однорублёвых и пятирублёвых момент. Последние мы рисовали, подложив настоящие монеты под лист. Я был очень затейливым продавцом билетов. Сначала мои билеты стоили 2 рубля, но продавал я их только за разные сочетания монет. Звонкин в описании задания жаловался на то, что дети запутались. Он предположил, что это случилось из-за того, что он начал с пяти рублей за билет. Я учёл его ошибки и рекомендации и начал с самых недорогих билетов. Ульяна соображала не со скоростью молнии, но всё равно достаточно быстро. Как только все возможные сочетания для суммы в 2 рубля закончились, я поднял цену билетов до трёх рублей. Так нам добавились ещё две возможности. Билеты были именными, игрушек у Ульяны много. В предыдущем туте (toot, насколько я понимаю, это местный tweet) я написал, что добавились две возможности составить 3 рубля. Умудрённый комбинаторным чутьём читатель мог заметить, что порядок монет мы игнорировали. То есть набор [1₽, 2₽] для нас равносилен был набору [2₽, 1₽]. Читатель, озадаченный конечностью своих финансов, мог бы засомневаться нашей радости от удорожания билетов. Но мы были сами себе центральным банком и могли печатать деньги как считали нужным, поэтому не переживали. В каком-то смысле нарастающий спрос у нас увеличивал стоимость на билеты, что вполне вписывается в известные мне экономические теории.😄 Когда стоимость билета возрастала с четырёх рублей до пяти, то я сказал Ульяне, что дальнейшего повышения цен больше не будет. Ульяна озадаченно спросила меня, почему же так. Пришлось сказать ребёнку, что таков был установлен закон в нашей игре. И закон гласил, что цена билета не может быть больше пяти рублей. Ответ Ульяну не удовлетворил. Но мне повезло, что у Ули под рукой закончились игрушки перед последним единственным оставшимся сочетанием. Возник вопрос, кому же продавать последний билет. Решился он на удовольствие хорошо: последний билет купила сама Ульяна. Такой финал очень ей понравился. Кинотеатр тут же начал работу. Уля села вместе с аккуратно посаженными куклами и игрушечными зверьми и начала смотреть мультфильм. Посмотрел на ещё апрельские фотографии наших Звонкинских изысканий и решил, что, пожалуй, мне лень будет восстанавливать всю последовательность действий. Если кто-то будет идти по схожему пути и захочет обсудить те или иные упражнения и наши версии их исполнения, вы знаете, куда писать.😉 Сегодня же я напишу про сегодняшнее. Тем более, что занятие наше было не слишком длинным. За прошедшее с апреля время мы успели пройтись по всему первому году математического кружка. Мы там брались не за все упражнения, а только за некоторые. Пропускали часть потому, что Уля и так их когда-то уже делала в избытке. Сегодня во время послеобеденной прогулки я нарисовал на асфальте мелками табличку: в столбцах были цвета, а в строках фигуры. Избегая «а расскажи-ка мне, что...» я попросил ребёнка спросить меня: «Папа, а что будет в ячейке под зелёным цветом и справа от треугольника?» Дочь спросила, и я ответил — нарисовал зелёный треугольник. Попутно я старался определить содержимое ячеек через действие: вёл одновременно пальцами от заголовков столбца вниз и строки вправо. Потом настал мой черёд спрашивать. Уля попыталась провести пальцами, но вышло кривовато, так что приземлилась она в другую ячейку и вообще не очень понимала. Я пытался объяснить и так и сяк, а потом решил взять и сказать: «Неправильно, теперь ты у меня спрашивай». Это ребёнка устроило, и она ещё парочку раз спрашивала у меня, а сама делала неправильно. Через три раза началось и «правильно». Сегодня изучали симметрию. Симметрию строили относительно оси, но для Ульяны это была «игра в зеркало». Ребёнок не был удовлетворён абстрактностью вертикального отрезка-зеркала и тут же нарисовал толщину. На мой вопрос, как бы в зеркале отразился квадрат, совершенно справедливо зеркало было покрашено в красный цвет. Это как бы если смотреть на настоящее зеркало сильно сбоку. Я похвалил малыша за наблюдательность и снова попробовал настоять на привычном варианте. Вторая попытка также была не очень успешной. Уля взяла у меня доску из рук и нарисовала уже развернутое к ней зеркало с изображением красного квадрата. Потом на квадрате появились сердечки. Это ещё не конец.🙂 В какой-то момент удалось условиться с ребёнком играть в предполагаемую игру. Но вот отражение сначала получалось не перемещённым и развёрнутым как в зеркале, а просто перемещённым. Тогда я принёс настоящее зеркало, нарисовал на доске контур моего носа, уткнулся носом в зеркало и попросил нарисовать на доске отражение. Уля что-то нарисовала, но я не понял, был ли разворот. Стало ясно, что требуется что-то более очевидно выпуклое. Я приложил к доске палец, уперев его в «зеркало», и попросил Улю обвести. Затем подставил тот же палец к зеркалу и попросил нарисовать отражение. Первой версией был тот же перенесённый вперёд палец, но затем я указал, что палец-то в зеркале смотрит на меня, а не от меня. Тут ребёнок сообразил. Затем дело пошло легче. Я рисовал справа от линии «загадочное изображение», а Ульяна повторяла его слева. Так загадка становилась бабочкой. После бабочки мы поменялись ролями. Получилась божья коровка. В конце я написал несколько кусков зеркальных слов и попросил дочь их отразить. Забавно, что отражала она их от самой дальней буквы, а не от самой ближней. Ещё забавно, что читать слова ей тоже удавалось не сразу. Мне показалось, что зеркальную часть она также пыталась читать зеркально. Математические изыскания продолжаются. Описание первого года кружка Звонкина заканчивается продолжительным размышлением на тему бинома Ньютона. Он также известен как подсчёт количества способов выбрать k элементов из n. Мы же не только подсчитывали количество, но и рисовали варианты. Мы разукрашивали кружки на асфальте различными способами, это были условные бусины. Мне кажется полезным начинать с самых прямолинейных случаев, так что я нарисовал сам два кружочка и разукрасил правый. Затем я нарисовал второй ряд из двух кружков и разукрасил там левый кружок, объяснив, что вот первый способ, а вот второй. По ходу объяснений понимаешь, что вся эта хитрая конструкция строится на некоторых условностях, которые приходится в некотором смысле вталкивать в ребёнка, и которые оттого выглядят не очень убедительными. Например, одной из условностей было то, что каждый ряд — это вроде как альтернативная версия одних и тех же бусин, и друг с другом они не взаимодействуют. Далее пошли три кружочка, и это уже было задачей Ульяны разукрасить их так, как предполагала задачка. А задачка предполагала показать все возможности раскрасить одну бусину из трёх. Далее дела пошли немного повеселее. Мы с Улей нарисовали все возможные вариации на тему одного голубого кружочка из трёх. Ребёнку я преподносил это как разукрашивание бусин, так что полосы между кружками — это нити бусин. Но польза от неё есть. Приходит понимание, что закрашивание 2-х бусин — более сложный процесс, между закрашивание могут возникать и пустоты. Это знание будет полезно, когда мы будем закрашивать 2 бусины из 4-х. Здесь может возникнуть резонный вопрос: «Как понять, что никаких больше вариантов быть не может?» Бином Ньютона (https://ru.wikipedia.org/wiki/Бином_Ньютона) в 4 года обычно недоступен. Проверить можно по уже упоминавшейся пустой бусине. Когда бусины всего три, то пустой может быть первая, вторая или третья бусины. Мы с Ульяной нашли все эти случаи и на этом закончили до следующих выходных. После отпусков и болезней возвращаемся в математический мир. Не то, чтобы ничего математического с нами не случалось, но к Звонкину до прошедших выходных мы не подступали. В «Малышах и математике» мне не встречались задачки на бесхитростный счёт в лоб, но и этот навык неплохо иметь развитым до определённого уровня. Развивать его прямо тяжело, так как просто решать примеры скучно, Уля из-за череды «6+5», «3+4» бесится. Благо, что есть косвенный метод. Один из таких — научить ребёнка играть в настольные игры. Если нужно бросать два кубика (например, в игре Cluedo), то тут сложение от 2 до 12. В «Каркассоне» нужно заниматься сложением для получения последовательностей 1, 2, 3… 2, 4, 6… 3, 6, 9… Приятно, что обосновывать необходимость таких действий не надо. Это же игра, складывать подталкивает азарт. Восстановление наших подходов к Звонкину началось с конфуза. Я решил не мучать ребёнка в прошлое воскресенье и задать всего два устных вопроса. На первый решила радостно отвечать Лиза вместо Ули. Суть была в том, что два брата вышли из дома, сели на два велосипеда и покатились на 5-ти колёсах. Ребёнок предположил, что у одного велосипеда было 4 колеса, у другого — 1. Хороших аргументов против у меня не было. Детские велосипеды сопровождаются двумя поддерживающими колёсами, вот вам и 4. В кладовке у меня до сих пор лежит одноколёсный уницикл, вспышка увлечением которым пронеслась у меня в 2015–2016-х годах. Вторую задачку я успел лишь озвучить, а затем сразу понял, что вопрос к жизни ребёнка в век карточной оплаты не имеет отношения. Она звучит так: «В руке у меня две монеты в сумме они дают три рубля, но одна монета не рубль. Что у меня за монеты в руке?». Ладно бы то, что для ребёнка «монета = платёжное средство с определённой ценностью» не самая прижившаяся абстракция. Даже если абстракция была бы уже хорошо закреплена, это не спасло бы от вариаций. Если в руке у меня лежит выдаваемая в подарок за покупку на 500 рублей в «Пятёрочке» «пиратская монета», а также памятные 3 рубля, посвящённые творчеству Виктора Цоя (https://cbr.ru/cash_circulation/memorable_coins/coins_base/ShowCoins/?cat_num=5111-0486), то маленький решатель пойман в ловушку. Что общего у детей 1980-х с детьми 2020-х? Общий у них азарт игры в «Вероятностные гонки». Ну или «Более вероятно», «менее вероятно» в терминах Звонкина. Для игры нужна бумага в клетку. Игровое поле состоит из трассы и разделяющих её дорожек. Эти дорожки нумеруются от 1 до 15, ширина дорожки — 1 клетка. Длина трассы — 7 клеток, ну или сколько захотите. У каждого игрока есть несколько автомобилей, своим автомобилем он может занять определённую дорожку. Затем в дело вступают кубики. Всего участвуют два кубика. Если в сумме после броска выпадает 5, то автомобиль на дорожке 5 движется вперёд на одну клетку. Выигрывает тот, чей автомобиль пересекает финишную черту. В первой партии мы с Ульяной выставляли по 2 автомобиля. Сначала Уля выставила свой автомобиль «У» на 15-ю клетку, но потом поставила два кубика с самыми большими значениями, шестёрками, друг рядом с другом и всё поняла. Всё, да не всё-всё, поэтому один из её «У» оказался на 1-й клетке. Второй — на второй». После игры я спросил у Ульяны, почему же «У» на 1-й дорожке никуда не поехал? Ребёнок задумался, и я спросил, может ли вообще получиться единичка на двух кубиках? Уля повертела их и несколько робко сказала, что не может. Кажется, это знание ещё не воссияло в ней как очевидная истина. Первая партия хотя была и не очень интересной из-за того, что наши автомобили выпадали нечасто, но всё равно раззадорила юного игрока. За рисование второго поля Уля уже взялась самостоятельно. Для большего веселья от игры я предложил ставить по 4 автомобиля, но Ульяна пошла дальше и предложила по 6. Один автомобиль в этом случае становится бесполезным, но да ладно. Сначала расставляли «У»-шки. Были выбраны не совсем удачные варианты, так что в процессе игры я слегка поддавался, пропуская ходы. Мои «Г»-шки разместились на оставшихся осмысленных дорожках и 13-й, так как уже было некуда деваться. Врум-врум, гонка началась! Скорее всего рисунок гонки показался вам знакомым. Колокольчик нормального распределения практически что её символ. Но Уля ещё не знает механик получения результатов броска двух кубиков, так что с большим азартом встречала результаты бросков: радовалась, когда её машины двигались вперёд, огорчалась со словами: «Ну почему мне так не везёт?!» — когда продвигались мои машины. Победил автомобиль «У» на дорожке 8! Успешный автовладелец радовался по полной! Неожиданным в матче для меня стал относительный успех автомобиля на дорожке «2». Учитывая то, что собрать двойку на двух кубиках можно только одним способом из 36, целых три хода были не слишком вероятны. |
Gregory's Server
Если что-то и бросается в глаза в книге, так это широчайшие возможности, которые есть сейчас у нас с Ульяной по сравнению с тем, что имелось у Александра Звонкина в 1980-х. Если тогда вспомогательные материалы вроде карточек или шестигранной мозаики были чем-то очень редким, то сегодня в несколько кликов на любой вкус и цвет заказывается всё, что нужно. А доставка послезавтра.