🖼️ 1 изображение 🖼️

🔍 Описание

Скриншот математической задачи. Изображение содержит текст, написанный на тёмном фоне светлым шрифтом. Текст представляет собой математическое доказательство, разбитое на четыре пункта с подпунктами, включая формулы, вычисления и объяснения. В тексте присутствуют уравнения, примеры и заключение. Стиль оформления напоминает учебник или конспект.

📝 Текст на картинке

Чтобы понять, почему сумма цифр выражения (х * 3 + 3) * 3 всегда равна 9 для х ∈ [1,9],
разберем это математически:
1. Выразим итоговую формулу:
y = (х * 3 + 3) * 3
Раскроем скобки:
y = 3х * 3 + 3 * 3 = 9х + 9
2. Посмотрим, как изменяется у при разных значениях х: При х = 1, 2, ..., 9 у принимает
значения:
y = 9 * 1 + 9 = 18, y = 9 * 2 + 9 = 27, y = 9 * 3 + 9 = 36, ..., y = 9 * 9 + 9 = 90.
3. Найдём сумму цифр для каждого результата:
• y = 18, сумма цифр: 1 + 8 = 9,
• y = 27, сумма цифр: 2 + 7 = 9,
• y = 36, сумма цифр: 3 + 6 = 9,
...
• y = 90, сумма цифр: 9 + 0 = 9.
4. Объяснение через свойства чисел: Заметим, что y = 9х + 9 всегда делится на 9.
Согласно свойству чисел, если число делится на 9, то сумма его цифр также делится на 9.
Поскольку х принимает значения от 1 до 9, у всегда остаётся двухзначным числом, сумма
цифр которого равна 9.
Итог: Сумма цифр выражения (х * 3 + 3) * 3 всегда равна 9, потому что результат всегда
делится на 9, а его цифры в двухзначной форме всегда дают в сумме 9.

🖼️ 2 изображение 🖼️

🔍 Описание

Скриншот математической заметки. Изображение содержит текст, разделённый на три нумерованных пункта, каждый из которых описывает математическое свойство, связанное с делимостью чисел на 9. Текст написан чёрным цветом на тёмно-сером фоне. В заметке присутствуют формулы и математические обозначения. В целом, изображение выглядит как фрагмент учебного материала или лекции.

📝 Текст на картинке

Это связано с принципом делимости чисел на 9, который основывается на свойстве десятичной
записи чисел. Давайте разберёмся:
1. Десятичное представление числа
Любое натуральное число N можно записать в виде:
N = ak · 10k + ak-1 · 10k-1 + ... + a1 · 101 + a0,
где ak, ak-1, ..., a0 — это цифры числа N.
Например, число 523 можно записать как:
523 = 5 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100.
2. Разложение степени 10 по модулю 9
Обратите внимание, что 10 ≡ 1 mod 9 (остаток от деления 10 на 9 равен 1). Это справедливо
также для любых степеней 10:
10k ≡ 1 mod 9 для любого k.
Таким образом, каждое слагаемое в разложении N по модулю 9 можно заменить:
ak · 10k ≡ ak · 1 mod 9, ak-1 · 10k-1 ≡ ak-1 · 1 mod 9, ...
Тогда:
N ≡ ak + ak-1 + ... + a1 + a0 mod 9.
3. Сумма цифр и делимость на 9
Мы видим, что остаток от деления числа N на 9 равен остатку от деления суммы его цифр
(ak + ak-1 + ... + a0) на 9.
Следовательно:
• Если N делится на 9 (N mod 9 = 0), то и сумма цифр S = ak + ak-1 + ... + a0 также
делится на 9 (S mod 9 = 0).