Так, народ. Кажется проблема решилась. Очень странным способом. ASIO4ALL не очень помогла, хотя бы потому, что она не работает сама по себе. Ее надо включать в программе, использующей звук. А у меня изначально звук шел напрямую с системы. То есть, грубо говоря, с микрофона звук напрямую шел на выход наушников.

Разбираясь с ASIO, я наткнулся на софтверный микшер Voicemeeter . И вот он решил все проблемы (не сразу). Видимо, в него встроено что-то вроде ASIO, так как он полностью убирает задержку звука с микрофона.
Однако, обнаружилась другая проблема: при его запуске, на ноутбуке полностью блокируется микрофон. Он как бы есть в системе, но звук с него пропадает. Как в системе, так и в любых программах.
Мне пришлось достать с полки мой бывший сервер (мини-ПК Chatreey), на который установлена Винда. И с ровно таким же сетапом, как на ноуте, на нем все заработало!
Тут, правда, возникает две проблемы. Во-первых, придется тащить на площадку монитор. Во-вторых, этот мини-ПК глючный. У него какая-то проблема с кроваткой памяти, и периодически он виснет. Но это все равно лучше, чем ничего.

Спасибо вам всем за помощь!